calculo de engrenagens

Resumo Essa apostila trata dos conceitos básicos para análise de engrenagens cilíndricas de dentes inclinados, ou helicoidais, conforme abordados nas disciplinas Sistemas Mecânicos e Elementos de Máquinas. Descreve geometria desse tipo de engrenagem, as solicitações as quais os dentes estão sujeitos, a resistência dos dentes e os fatores que devem ser levados em conta no projeto. Trata-se de um resumo, sendo necessária a consulta a textos especializados para aprofundamento.

Engrenagens cilíndricas de dentes inclinados, ou helicoidais, são construídas com dentes que não são alinhados com a direção axial dos elementos de transmissão. São utilizadas quando é necessário construir reduções que ocupem menor espaço axial e que gerem menor ruído. A primeira característica vem do fato de que a largura efetiva dos dentes é maior do que a de engrenagens cilíndricas de dentes retos e a segunda é devida ao engrenamento gradual dos dentes.

A figura 1 mostra um conjunto de redução com esse tipo de engrenamento. As engrenagens têm os dentes inclinados em sentido oposto uma da outra, para permitir o engrenamento sem que os dentes se cruzem. Se imaginarmos o conjunto em movimento, é fácil observar o engrenamento gradual. Considere a engrenagem da direita movendo a da esquerda: a parte do dente mais próxima da face frontal das engrenagens entra em contato primeiro e o restante do dente vai gradualmente entrando em contato com o resto do dente conjugado. Também é possível observar que o rolamento entre os dentes ocorre num plano inclinado em relação à face do conjunto. Assim, o perfil evolvente deve ser gerado em torno de um cilindro que também está inclinado em relação aos eixos das engrenagens.

Figura 1. Engrenagens Cilíndricas de Dentes Inclinados (Helicoidais)

Engrenagens de dentes inclinados geram esforços axiais, já que o contato ocorre em um plano inclinado em relação ao eixo dos elementos. Para suportar esses esforços deve-se prever a utilização de mancais de escora ou mancais radiais, como os rolamentos de contato angular. Uma providência de projeto bastante comum é a montagem de uma redução com dois pares de engrenagens, cada conjunto gerando esforços axiais em uma direção. Com engrenagens semelhantes, os esforços axiais resultantes serão mínimos. A figura 2 mostra esse tipo de montagem.

Figura 2. Montagem de um Par de Engrenagens Helicoidais para evitar Esforço Axial

Um esquema dos dentes e das variáveis envolvidas no estudo das engrenagens helicoidais é mostrado na figura 3. Nessa figura,ψψψψ é o ângulo de hélice, que define a inclinação dos dentes em relação ao eixo das engrenagens; p é o passo; pn é o passo normal ou ortogonal; pa é o passo axial e b é a largura da engrenagem. A variável b’, não mostrada, é utilizada para a largura efetiva dos dentes, que em engrenagens helicoidais depende do ângulo de hélice.

Figura 3. Vista Superior de uma Engrenagem Helicoidal mostrando as designações mais importantes

A figura 3 também mostra os planos R e N. O primeiro é o plano perpendicular ao eixo da engrenagem e o segundo é perpendicular aos dentes. A visão dos dentes em cada plano é diferente. A figura 4 mostra os dentes em ambos os planos. Nessa figura, φφφφn é o ângulo de pressão normal ou ortogonal e φφφφ é o ângulo de pressão. Pode-se notar que os ângulos são diferentes. O ângulo normal é o que realmente está no plano de rolamento e é normalizado. Embora o perfil dos dentes deva ser evolvental nesse plano, dificuldades de fabricação impedem que isso ocorra. Pequenas diferenças são levadas em conta no dimensionamento através da modificação dos fatores geométricos.

Figura 4. Visualização dos Dentes de Engrenagens Helicoidais. À esquerda, corte no Plano N da figura 3; à direita, corte no Plano R

Com as figuras 3 e 4 é possível descrever as relações entre as diversas variáveis.

Assim, o passo normal pode ser calculado por: [ 1 ]

O ângulo de pressão normal é dado por: [ 2 ]

E o módulo normal, que é diretamente proporcional ao passo normal, é dado por:

2. Análise de Forças em Engrenagens Helicoidais

Conforme já mencionado, o contato entre os dentes ocorre no plano inclinado N.

com um todo (eixos, engrenagens, selos, mancais,

) aparecem apenas indiretamente nos

Assim, a força de contato F, que é normal à superfície de ambos os dentes, também deve estar nesse plano. Devido à essa inclinação, três componentes de força são geradas. As componentes radial (Fr) e axial (Fa) não causam torque nos eixos de transmissão. A primeira causa flexão e a segunda apenas tensão axial. Embora sejam importantes no dimensionamento da transmissão cálculos das tensões nos dentes. De fato, uma vez que os ângulos de hélice e pressão para um conjunto de redução são fixos e definem a relação entre as forças, o efeito de cada uma pode ser incluído na força tangencial (Ft), que é a que define o torque que está sendo transmitido. A figura 5 permite determinar as relações entre as forças. Nessa figura é mostrada uma vista superior da engrenagem helicoidal e os dentes nos planos R e N.

Figura 5. Esquema para a determinação das relações entre as Forças em Engrenagens Helicoidais

A força tangencial pode ser obtida a partir dos dados de entrada do problema.

Normalmente esses dados são a potência (ou torque) e a rotação da fonte de acionamento (motor). Para calcular a força é necessário que se conheça o raio da engrenagem, que não está disponível no início de um projeto. Uma estimativa inicial do raio pode ser obtida levando-se em conta as recomendações de projeto descritas na apostila para engrenagens cilíndricas de dentes retos, que relacionam a distância entre centros e a redução desejada com as dimensões. Supondo o raio conhecido, pode-se obter a velocidade e, com a potência, calcular a força tangencial conforme a equação:

A figura 5 mostra que a relação entre Ft e Fr é dada por:

A força axial Fa, gerada pela inclinação dos dentes e pelo contato no plano inclinado, depende do ângulo de hélice conforme a equação 5. A relação mostrada nessa equação pode ser vista no esquema de forças no centro da figura. Nesse esquema também pode ser vista a força que causa flexão no pé do dente, cujo símbolo é Fb e cuja relação com a força tangencial é mostrada na equação 7.

A força no contato entre os dentes é composta das componentes axial, tangencial e radial e pode ser obtida por:

3. Tensões e Resistência em Engrenagens Helicoidais

Da mesma forma que para engrenagens cilíndricas de dentes retos, as tensões relevantes para o dimensionamento dos dentes são geradas pela força a ser transmitida. A figura 6 mostra um modelo foto-elástico de um dente em pexiglass em contato com outro de um material metálico. Por essa técnica é possível visualizar as linhas de deformação (ou tensão) geradas pelos esforços. A diminuição do espaçamento dessas linhas significa uma maior concentração de tensões. Observando a figura é possível identificar a raiz do dente e o ponto de contato entre os dentes como os pontos de maior tensão, conforme já visto no estudo de engrenagens de dentes retos.

Figura 6 - Modelo Foto-elástico da Distribuição de Tensões em Dentes de Engrenagens 3.1. Tensões e Resistência na Raiz do Dente

A equação 9 mostra o cálculo das tensões no pé do dente em engrenagens helicoidais, conforme recomendado pela Associação Americana dos Fabricantes de Engrenagens (AGMA), órgão regulador nessa matéria na América do Norte. Consiste basicamente na mesma equação apresentada para dentes retos e, portanto, valem as mesmas considerações, a menos de duas pequenas modificações. Engrenagens Helicoidais, devido ao formato dos dentes, não são tão sensíveis ao desalinhamento, principalmente se houver uma sobreposição de dentes em contato, isto é, mais de um dente estiver em contato em cada momento, o que é o esperado. Assim, o fator que leva em consideração a montagem, Km, não precisa ter os valores recomendados pela tabela 2 do texto sobre engrenagens cilíndricas de dentes retos. A AGMA recomenda um valor 7 % menor, ou seja, recomenda a inclusão de um multiplicador de valor 0,93 na equação.

Uma segunda diferença leva em consideração o fato de que o perfil dos dentes no plano ortogonal não é exatamente evolvental. O fator J para engrenagens helicoidais inclui essa diferença. Esse fator é obtido do gráfico da figura 7 para uma engrenagem cuja conjugada tenha 75 dentes. Para engrenagens cuja conjugada tenha qualquer outro número de dentes, a figura 8 mostra o fator de correção que deve ser utilizado. Os dados de entrada na figura 7 são o número de dentes na engrenagem onde se quer conhecer a tensão e o ângulo de hélice.Para a figura 8 é necessário utilizar também o número de dentes da engrenagem conjugada.

7 Figura 7 - Fator Geométrico J para Engrenagens Helicoidas com Conjugada de 75 dentes

A resistência à flexão no pé do dente é calculada exatamente da mesma maneira que para engrenagens de dentes retos. A equação 5 da apostila que trata desse tipo de engrenagem é repetida aqui, na equação 10. Todos os fatores e variáveis estão descritos na apostila citada.

3.2. Tensões e Resistência no Contato entre os Dentes

As tensões no contato entre os dentes de engrenagens helicoidais também são calculadas basicamente da mesma forma que para dentes retos. Novamente, a recomendação da AGMA para o fator montagem deve ser incluída. Uma segunda recomendação leva em consideração o número médio de dentes em contato, representado pelo valor CR na equação. O valor de CR é chamado também de razão de contato e pode ser calculado pela equação 1.

O termo rij na equação anterior representa um raio: quando i é substituído por a, representa o raio da cabeça do dente; quando i é substituído por b, representa o raio de base; quando j é substituído por p, representa o pinhão; quando j é substituído por c, representa a coroa. Assim, rap é o raio da cabeça do dente do pinhão, e assim por diante. O termo C é a distância entre centros, ou a soma dos raios primitivos dos dois elementos. O passo da base pb é dado pela equação 12.

No cálculo da tensão no contato também deve ser incluída a largura real b’, já que o contato ocorre no plano normal, ao longo de toda a largura. Essa largura pode ser calculada dividindo a largura do denteado b pelo cosseno do ângulo de hélice. Assim, a equação para o cálculo da tensão fica:

Da mesma forma que para as tensões na raiz do dente, não há modificação para a forma de calcular a resistência à fadiga no contato. A equação 8 da apostila de engrenagens cilíndricas de dentes retos é repetida abaixo para facilitar o uso desta apostila. Os fatores multiplicadores foram definidos na apostila citada.

4. Considerações Finais

Engrenagens helicoidais são as mais utilizadas na construção de caixas de câmbio automotivas e redutores industriais atualmente. O custo total um pouco mais elevado é suplantado pela sua simplicidade de fabricação e pelas vantagens sobre as de dentes retos. Algumas características de suas variáveis principais devem ser ressaltadas:

• O ângulo de pressão normalizado é o ângulo normal φφφφn e não o ângulo. O valor do primeiro é, normalmente, 20° .

• O módulo normal mn também deve seguir os valores recomendados para o módulo m, conforme a apostila de engrenagens de dentes retos, embora seja possível encontrar uma grande quantidade de conjuntos de redução não normalizados.

• Da mesma forma que para engrenagens de dentes retos, é sempre recomendável procurar valores reais para as resistências ao invés de usar as estimativas propostas nas equações 10 e 13

• O ângulo de hélice, embora possa ter valor de até 30° , assume muito comumente o valor